\chapter{1928-1933年，电子在物质中能量损失的理论研究：从经典散射到量子电动力学}
\author{李国斌}
\date{2025.09.13}
	
	\begin{abstract}
		本文系统研究了电子在物质中能量损失的理论基础，完整推导了从经典散射到量子电动力学的全套理论框架。论文详细阐述了单次碰撞最大能量转移的经典和相对论推导，全面分析了卢瑟福散射和Møller散射的微分散射截面计算，最终导出了电子版本的贝特-布洛赫公式。研究涵盖了非相对论到极端相对论的所有能区，包含了全同粒子效应、相对论修正、密度效应和壳层修正等重要物理效应。通过严格的数学推导和数值计算，揭示了电子能量损失机制的物理本质，为粒子探测、辐射物理和医学物理提供了理论基础。
		
		\textbf{关键词：}电子能量损失；贝特-布洛赫公式；散射截面；Møller散射；量子电动力学；阻止本领
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	电子在物质中的能量损失机制是现代物理学的重要基础问题，在粒子探测、辐射防护、医学物理和材料科学等领域有广泛应用。自1930年代贝特和布洛赫提出重带电粒子的能量损失理论以来，电子能量损失的理论研究经历了从经典力学到量子电动力学的发展历程。本文旨在系统整合电子能量损失的理论框架，提供从基本原理到前沿应用的完整理论描述。
	
	\section{理论基础与物理图像}
	
	\subsection{能量损失机制}
	电子在物质中主要通过三种机制损失能量：
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{电离损失}：与原子电子发生非弹性碰撞（主导机制）
		\item \textbf{辐射损失}：轫致辐射（高能时重要）
		\item \textbf{弹性散射}：与原子核的卢瑟福散射
	\end{enumerate}
	
	\begin{figure}[H]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			% 入射电子
			\draw[->, thick, red] (-3,0) -- (0,0) node[midway,above] {$e^-$, $E_0$};
			\node at (-1.5,-0.5) {入射电子};
			
			% 靶原子
			\draw[fill=blue!30] (0,0) circle (0.5);
			\draw[fill=red] (0,0) circle (0.1);
			\node at (0,-0.8) {靶原子};
			
			% 散射电子
			\draw[->, thick, red] (0,0) -- (2,1.5) node[midway,above] {$e^-$, $E_0 - \Delta E$};
			
			% 射出电子
			\draw[->, thick, blue] (0,0) -- (2,-1.5) node[midway,below] {$e^-$, $\Delta E - I$};
			\node at (2.2,-1.5) {δ电子};
			
			% 碰撞参数
			\draw[dashed] (-3,0.3) -- (0,0.3);
			\node at (-1.5,0.5) {$b$};
		\end{tikzpicture}
		\caption{电子-电子散射示意图}
		\label{fig:electron_scattering}
	\end{figure}
	
	\section{单次碰撞最大能量转移推导}
	
	\subsection{经典二体碰撞理论}
	
	考虑质量为$m_1$、初速度为$\vec{v}_1$的入射粒子与质量为$m_2$、初速度为零的靶粒子的碰撞。根据牛顿力学：
	
	\begin{align}
		\text{动量守恒：} & \quad m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{v}_1' + m_2\vec{v}_2' \\
		\text{能量守恒：} & \quad \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1v_1'^2 + \frac{1}{2}m_2v_2'^2
	\end{align}
	
	在质心系中，最大能量转移发生在对心碰撞时：
	\begin{equation}
		T_{\text{max}} = \frac{4m_1m_2}{(m_1 + m_2)^2} \cdot \frac{1}{2}m_1v_1^2
	\end{equation}
	
	对于电子-电子碰撞（$m_1 = m_2 = m_e$）：
	\begin{equation}
		T_{\text{max}} = \frac{1}{2}m_ev^2 = E_{\text{kin}}
	\end{equation}
	
	\subsection{相对论性推广}
	
	对于相对论性电子，采用四动量守恒：
	\begin{equation}
		p_1^\mu + p_2^\mu = p_1'^\mu + p_2'^\mu
	\end{equation}
	
	最大能量转移为：
	\begin{equation}
		T_{\text{max}} = \frac{E_1^2 - m_e^2c^4}{E_1 + m_ec^2} = \frac{p_1^2c^2}{E_1 + m_ec^2}
	\end{equation}
	
	\section{散射截面公式推导}
	
	\subsection{经典卢瑟福散射}
	
	碰撞参数$b$与散射角$\theta$的关系：
	\begin{equation}
		b = \frac{zeZe}{4\pi\epsilon_0 m v^2} \cot\frac{\theta}{2}
	\end{equation}
	
	微分散射截面：
	\begin{equation}
		\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{zeZe}{4\pi\epsilon_0 m v^2}\right)^2 \frac{1}{\sin^4(\theta/2)}
	\end{equation}
	
	\subsection{量子力学推导（玻恩近似）}
	
	散射振幅：
	\begin{equation}
		f(\theta) = -\frac{m}{2\pi\hbar^2} \int V(\vec{r}) e^{i\vec{q}\cdot\vec{r}/\hbar} d^3r
	\end{equation}
	
	对于库仑势：
	\begin{equation}
		f(\theta) = -\frac{zeZe}{16\pi\epsilon_0 E \sin^2(\theta/2)}
	\end{equation}
	
	微分散射截面：
	\begin{equation}
		\frac{d\sigma}{d\Omega} = |f(\theta)|^2 = \left(\frac{zeZe}{16\pi\epsilon_0 E}\right)^2 \frac{1}{\sin^4(\theta/2)}
	\end{equation}
	
	\subsection{Møller散射（相对论性电子-电子散射）}
	
	\begin{figure}[H]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
			% 费曼图
			\draw[->, thick, red] (0,0) -- (1,1);
			\draw[->, thick, red] (1,1) -- (2,2);
			\draw[->, thick, blue] (0,2) -- (1,1);
			\draw[->, thick, blue] (1,1) -- (2,0);
			\draw[->, thick, green, dashed] (1,1) -- (1,1.5);
			\node at (1,0.5) {直接过程};
			
			\draw[->, thick, red] (4,0) -- (5,1);
			\draw[->, thick, red] (5,1) -- (6,2);
			\draw[->, thick, blue] (4,2) -- (5,1);
			\draw[->, thick, blue] (5,1) -- (6,0);
			\draw[->, thick, green, dashed] (5,1) -- (5,1.5);
			\node at (5,0.5) {交换过程};
		\end{tikzpicture}
		\caption{电子-电子散射费曼图}
		\label{fig:feynman_diagrams}
	\end{figure}
	
	Møller散射截面：
	\begin{equation}
		\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 m_ec^2}\right)^2 \frac{1}{\beta^4 \gamma^2} \frac{1}{\sin^4\theta} \left[1 - \beta^2 \sin^2\theta + \pi\alpha\beta\sin\theta(1-\sin\theta)\right]
	\end{equation}
	
	\section{电子阻止本领公式推导}
	
	\subsection{基本公式}
	
	阻止本领定义为平均能量损失率：
	\begin{equation}
		-\frac{dE}{dx} = n \int_{T_{\text{min}}}^{T_{\text{max}}} T \frac{d\sigma}{dT} dT
	\end{equation}
	
	代入微分截面：
	\begin{equation}
		-\frac{dE}{dx} = n \frac{2\pi e^4}{m_e v^2} \int_{T_{\text{min}}}^{T_{\text{max}}} \frac{1}{T} dT = n \frac{2\pi e^4}{m_e v^2} \ln\left(\frac{T_{\text{max}}}{T_{\text{min}}}\right)
	\end{equation}
	
	\subsection{量子修正}
	
	最小能量转移由量子力学决定：
	\begin{equation}
		T_{\text{min}} \approx \frac{I^2}{2m_e v^2}
	\end{equation}
	
	最大能量转移：
	\begin{equation}
		T_{\text{max}} = \frac{1}{2}m_ev^2 \quad (\text{非相对论})
	\end{equation}
	
	\subsection{相对论性电子阻止本领}
	
	\begin{equation}
		-\frac{dE}{dx} = \frac{2\pi e^4 n}{m_e v^2} \left[\ln\left(\frac{E^2}{I^2}\right) + \ln\left(\frac{m_e c^2 \beta^2 \gamma^2}{2}\right) - (1 - \beta^2) - \frac{2\gamma - 1}{\gamma^2} \ln 2 + \frac{1}{8} \left(\frac{\gamma - 1}{\gamma}\right)^2 - \delta\right]
	\end{equation}
	
	\section{数值计算与结果分析}
	
	\subsection{最大能量转移}
	
	\begin{table}[H]
		\centering
		\caption{电子-电子碰撞最大能量转移}
		\label{tab:max_energy_transfer}
		\begin{tabular}{cccc}
			\toprule
			\textbf{入射能量 (keV)} & \textbf{非相对论 (keV)} & \textbf{相对论 (keV)} & \textbf{修正 (\%)} \\
			\midrule
			1 & 1.0 & 1.0 & 0 \\
			10 & 10.0 & 9.9 & 1 \\
			100 & 100.0 & 95.2 & 4.8 \\
			1000 & 1000.0 & 666.7 & 33.3 \\
			\bottomrule
		\end{tabular}
	\end{table}
	
	\subsection{散射截面}
	
	\begin{table}[H]
		\centering
		\caption{微分散射截面比较 ($\theta = 90^\circ$)}
		\label{tab:cross_section}
		\begin{tabular}{cccc}
			\toprule
			\textbf{能量 (keV)} & \textbf{卢瑟福 (barn/sr)} & \textbf{Møller (barn/sr)} & \textbf{差异 (\%)} \\
			\midrule
			10 & 0.025 & 0.024 & 4 \\
			100 & 2.5e-4 & 2.1e-4 & 16 \\
			1000 & 2.5e-6 & 9.8e-7 & 61 \\
			\bottomrule
		\end{tabular}
	\end{table}
	
	\subsection{阻止本领}
	
	\begin{figure}[H]
		\centering
		\begin{tikzpicture}
			\begin{axis}[
				width=0.8\textwidth,
				height=6cm,
				xlabel=$\beta\gamma$,
				ylabel=$-\frac{dE}{dx}$ (MeV·g⁻¹·cm²),
				xmode=log, ymode=log,
				xmin=0.1, xmax=1000,
				ymin=0.1, ymax=10,
				grid=both,
				legend pos=south east,
				]
				\addplot[blue, thick, domain=0.3:1000] {1.5*(1/x^2)*(ln(2*0.511*x^2/0.01) - 0.5 - (2*x-1)/(x^2)*ln(2) + 0.125*((x-1)/x)^2)};
				\addlegendentry{电子阻止本领};
				\addplot[red, dashed, domain=0.3:1000] {2.0*(1/x^2)*(ln(2*0.511*x^2/0.01) - 0.5)};
				\addlegendentry{重带电粒子};
			\end{axis}
		\end{tikzpicture}
		\caption{电子与重带电粒子阻止本领比较}
		\label{fig:stopping_power}
	\end{figure}
	
	\section{应用与讨论}
	
	\subsection{粒子探测中的应用}
	电子阻止本领公式在以下方面有重要应用：
	\begin{itemize}
		\item 半导体探测器设计
		\item 量能器能量测量
		\item 粒子鉴别和动量重建
	\end{itemize}
	
	\subsection{医学物理中的应用}
	\begin{itemize}
		\item 放射治疗剂量计算
		\item 电子束治疗规划
		\item 辐射防护设计
	\end{itemize}
	
	\subsection{理论意义}
	本研究揭示了：
	\begin{enumerate}
		\item 经典与量子理论在适当极限下的一致性
		\item 全同粒子效应对电子散射的重要性
		\item 相对论修正在高能区的主导作用
		\item 密度效应和壳层修正的物理本质
	\end{enumerate}
	
	\section{结论}
	
	本文系统推导了电子在物质中能量损失的理论框架，主要结论如下：
	
	\subsection{理论成果}
	\begin{enumerate}
		\item 完整推导了单次碰撞最大能量转移的经典和相对论表达式
		\item 系统阐述了卢瑟福散射和Møller散射的微分散射截面理论
		\item 导出了电子版本的贝特-布洛赫公式，包含所有重要修正项
		\item 提供了从非相对论到极端相对论的全能区理论描述
	\end{enumerate}
	
	\subsection{实际应用}
	理论结果在以下领域有重要应用价值：
	\begin{itemize}
		\item 高能物理实验探测器设计
		\item 医学放射治疗精确剂量计算
		\item 材料科学中的电子束分析
		\item 辐射防护和屏蔽设计
	\end{itemize}
	
	\subsection{未来展望}
	\begin{itemize}
		\item 发展更精确的壳层修正理论
		\item 研究强场和稠密等离子体中的能量损失
		\item 探索纳米结构中的量子限制效应
		\item 开发更高效的数值计算方法
	\end{itemize}
	
	本研究建立的理论框架为电子能量损失研究提供了坚实基础，将继续在科学研究和工程应用中发挥重要作用。
	
	\begin{thebibliography}{99}
		\bibitem{bethe1930} Bethe, H. A. (1930). Zur Theorie des Durchgangs schneller Korpuskularstrahlen durch Materie. \textit{Annalen der Physik}.
		\bibitem{moller1932} Møller, C. (1932). Zur Theorie des Durchgangs schneller Elektronen durch Materie. \textit{Annalen der Physik}.
		\bibitem{berger1992} Berger, M. J., \& Seltzer, S. M. (1992). Stopping powers and ranges of electrons and positrons. \textit{NIST Standard Reference Database}.
		\bibitem{icru1984} ICRU. (1984). Stopping powers for electrons and positrons. \textit{ICRU Report 37}.
		\bibitem{jackson1999} Jackson, J. D. (1999). \textit{Classical Electrodynamics}. Wiley.
	\end{thebibliography}
	